Der Zonk - oder auch Das Ziegenproblem

[Rainer]

Da wir alle nur noch zu Hause herum hängen und faul und dicker werden, habe ich gedacht, ich stelle mal ein (allerdings schon bekanntes) Rätsel hier ein, welches in den 90er Jahren in den USA sogar zu einem handfesten Streit unter Mathematikern geführt hat, weil sie unterschiedlicher Meinung über die Lösung waren.

Ausgangspunkt ist ein Spiel, welches auch in Deutschland bekannt geworden ist, seinerzeit in der Sendung "Der Zonk" (von und mit Jörg Draeger). Das Spiel gab es auch im amerikanischen Fernsehen und die Nachricht einer hochintelligenten Zuschauerin (eine Mathematikerin) brachte die amerikanische Fernsehwelt in Aufruhr.

Worum geht es? Der Kandidat hat sich tapfer durch die Runden geschlagen, nun findet das große Finale statt. Im Finale steht der Kandidat vor einer großen Spielwand, in der Wand sind drei Türen. Hinter jeder Türe befindet sich etwas, was der Kandidat (und auch die Zuschauer) nicht sehen kann. Nur der Showmaster, der weiß genau, was hinter welcher Türe steht. Der verrät es aber leider nicht.

Hinter zwei von den drei Türen steht nur eine dumme Ziege, aber hinter einer drei Türen steht ein fetter Hauptgewinn. Meistens war das ein schickes Auto oder so. Die Aufgabe bestand natürlich darin, dass der Kandidat die Türe öffnete, die den Hauptgewinn verbirgt. Dazu gab es die folgenden Spielregeln:

1) Der Kandidat muss sich für eine bestimmte Türe entscheiden. Klar, seine Chancen sind nicht sehr gut, dass das genau die Türe ist, wo der Hauptgewinn hinter ist.

2) Normalerweise würde nun einfach die Türe aufgemacht und nachgeschaut, was dahinter steht. Aber um die Chancen des Kandidaten zu verbessern, durfte der Showmaster nun eine Hilfe geben. Statt einfach die gewählte Türe zu öffnen, liess der Showmaster eine von den beiden anderen, nicht gewählten Türen aufmachen, hinter der sich garantiert eine Ziege verbarg (der Showmaster weiß ja, wo die Ziegen stehen).

3) Nun war ja eine Türe offen und man sah eine doofe Ziege. Jetzt bekam der Kandidat noch einmal eine Chance, ihm wurde angeboten, bei seiner Wahl zu bleiben, oder doch lieber auf die andere noch geschlossene Türe umzusteigen. Die Wahl, die er nun treffen würde, ist die letzte Wahl.

4) Anschließend wurde die Türe geöffnet, die sich der Kandidat letztendlich ausgesucht hatte.

Bis zu dem legendären Tag, an dem die Mathematikerin ihre Mail an den Sender schickte und eine überraschende Erkenntnis vortrug, war man sich eigentlich darüber einig, dass es vollkommen wurscht ist, welche Türe der Kandidat zum Schluss nimmt, seine Chancen sind eben 50:50, entweder gibt es die Ziege oder den Hauptgewinn. Ist das wirklich so?

Viel Spaß beim Grübeln, wer gar nicht nachdenken will, mit Sicherheit wird man mit den geeigneten Begriffen die Geschichte in Google wiederfinden.

[Birgit]

Keine Ahnung...

Willst du es vielleicht mal auflösen?

[Horst]

Meine Tochter hat mir die Aufgabenstellung vor ein paar Monaten gegeben und ich habe zunächst auf der offensichtlichen Lösung beharrt.
Eigentlich habe ich es erst mit einer Lösungstabelle (Wikipedia) nachvollziehen können wie das mit den 50zu50 und zwei Dritteln funktioniert. Man kann aber schon unterschiedliche Ansätze vertreten.
Ich weiß gar nicht was spektakulärer ist - die Aufgabe und der Ansatz an sich oder der Aufstand an wissenschaftlichen Betrachtungen, Veröffentlichungen usw. die es dazu gibt. Alleine die Seite bei Wikipedia liefert schon komplexen Lesestoff der einen laaaange beschäftigen könnte.

[Rainer]

Die Kunst besteht wahrscheinlich darin, die richtige Lösung verständlich und plausibel darzustellen. Dazu gibt es verschiedene Ansätze. Ich werde mein Glück versuchen.

Zunächst einmal zur Lösung an sich:

1) Die Annahme, die Chance auf das Auto wäre gem. der Vorgabe so oder so bei 50%, ist falsch.

2) Richtig ist:
a) Bleibt der Kandidat bei seiner ursprünglichen Wahl, so beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 33% bzw. 1/3.
b) Wechselt der Kandidat auf die andere Türe, verdoppelt sich seine Gewinnwahrscheinlichkeit auf 66% resp. 2/3. Der Kandidat sollte also besser die Türe wechseln.

Woran liegt das? Eigentlich scheint es doch klar anders zu sein, der Showmaster zeigt eine Ziege, danach gibt es einmal Ziege, einmal Auto. Das Problem besteht darin, dass der Showmaster in seiner Handlungsmöglichkeit beschränkt ist. Er zeigt nämlich nicht einfach irgendeine Ziege, sondern er hat ein Problem, wenn der Spieler selbst auch eine Ziege gewählt hat. In diesem Fall ist der Showmaster gezwungen, die andere Ziege zu zeigen, weil hinter der anderen Türe das Auto steht, das darf der Showmaster auf keinen Fall zeigen.

D.h. wenn der Spieler es schafft, mit seinem ersten Tipp eine Ziege zu treffen, dann MUSS der Showmaster ihm die 2. Ziege zeigen und dann MUSS hinter der letzten Türe das Auto stehen. Also wechselt der Kandidat nach dem Öffnen der einen Türe auf die letzte Türe, denn er hat immerhin eine Chance von 2/3, bei seinem ersten Tipp eine Ziege zu treffen.

Wenn er aber nicht wechselt, nutzt er die Notlage des Showmasters nicht aus, der in zwei von drei Fällen gezwungen ist, implizit die Position des Autos zu verraten. Dann kann der Kandidat auch wegschauen, es bleibt bei seinem einen Schuss und dass er da zufällig das Auto trifft, die Wahrscheinlichkeit ist ja nur 1/3.

[Birgit]

Ahhhhhhh!
"Plingggggg" machte es und die Birne ging an.

[Silvia]

Die Kunst besteht wahrscheinlich darin, die richtige Lösung verständlich und plausibel darzustellen. Dazu gibt es verschiedene Ansätze. Ich werde mein Glück versuchen.

Erfolgreich